সংখ্যা পদ্ধতি (Number System)

 সংখ্যা পদ্ধতি (Number System):

বিশেষ কিছু চিহ্ন বা অঙ্ক বিন্যস্ত করে যে পদ্ধতিতে গণনা করা হয় তাকে সংখ্যা পদ্ধতি বলে। সহজভাবে বলা যায় সংখ্যা গণনা করার পদ্ধতিকে সংখ্যা পদ্ধতি বলে। বিভিন্ন প্রকার সংখ্যা পদ্ধতি রয়েছে। যেমনঃ দশমিক (ডেসিমাল), বাইনারি, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল। কম্পিউটার সিস্টেমে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির গুরুত্বই বেশি তবে অন্যান্য সংখ্যা পদ্ধতি পরোক্ষভাবে ব্যবহৃত হয় ।

সংখ্যা আবিষ্কারের ইতিহাস

সভ্যতার জন্মলগ্ন থেকেই মানুষের মধ্যে হিসাব বা গণনা করার ধারণা সৃষ্টি হয়। শুরুতে গণনার কাজে মানুষ হাতের আঙ্গুলকে ব্যবহার করত। পরবর্তীতে আঙ্গুলে গণনার সীমাবদ্ধতা থেকে বের হয়ে পড়ে এবং শুরু হয় কাঠি, নুড়িপাথর, দড়ির গিট ইত্যাদি উপকরণের ব্যবহার। উন্নতির ধাপে ধাপে গণনার জগতে প্রবেশ করে বিভিন্ন ধরনের চিহ্ন বা প্রতীক ব্যবহার করে। সাথে সাথে বিভিন্ন উপায়ে গণনার পদ্ধতিও চালু হয়।

অনুমান করা হয় খৃস্টপূর্ব ৩২০০ সালে হায়ারোগ্লিফিক্স (Hieroglyphics) চিহ্ন বা সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহারের মাধ্যমে সর্বপ্রথম গণনার কাজে লিখিত সংখ্যা বা চিহ্নের প্রচলন শুরু হয়। এরপর শুরু হয় মেয়ান (Mayan) পদ্ধতি। তারা ব্যবহার করতো ২০ ভিত্তিক সংখ্যা এবং ৫ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি। খৃস্টপূর্ব ৩৪০০ সালে রোমানরা তাদের নিজস্ব বর্ণমালা ব্যবহারের মাধ্যমে রোমান (Roman) সংখ্যা পদ্ধতি চালু করে। খৃষ্টপূর্ব ৪০০০ সালের দিকে ভারতবর্ষে দশভিত্তিক সংখ্যার প্রচলন হয় এবং আরবের পণ্ডিতেরা তাদের এ পদ্ধতির উপর ব্যাপক গবেষণা করে দশভিত্তিক সংখ্যা প্রকাশের কৌশল ও গণনার প্রবর্তন করেন। পরবর্তীতে তা আরব থেকে ইউরোপে প্রবেশ করে। খৃষ্টপূর্ব ৪০০ সালে গ্রিসে ২৭টি গ্রিক আলফাবেট নিয়ে ১০ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি চালু হয়।

সংখ্যা:

সংখ্যা হচ্ছে এমন একটি উপাদান যা কোনকিছু গণনা, পরিমাণ এবং পরিমাপ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। যেমন- একাদশ শ্রেণীতে ২৪৩ জন ছাত্র আছে; এখানে ২৪৩ একটি সংখ্যা।

অংক:

সংখ্যা তৈরির ক্ষুদ্রতম প্রতীকই হচ্ছে অংক। সকল অংক সংখ্যা কিন্তু সকল সংখ্যা অংক নয়। যেমন ২৪৩ তিন অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা ,যা ২, ৪ এবং ৩ পৃথক তিনটি অংক নিয়ে গঠিত। যারা প্রত্যেকেই পৃথকভাবে একেকটি সংখ্যা।

সংখ্যা পদ্ধতি :

কোনো সংখ্যাকে লিখা বা প্রকাশ ও এর সাহায্যে গাণিতিক হিসাব-নিকাশের জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিই হলো সংখ্যা পদ্ধতি। সংখ্যা পদ্ধতিতে নিমোক্ত উপাদানগুলো থাকে। যেমন-

• কতোগুলো প্রতীক। যেমন- ০,১,২,৩ …
• কতোগুলো অপারেটর। যেমন- +, -, ×, ÷ ইত্যাদি।
• কতোগুলো নিয়মাবলী। যেমন- যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদির নিয়ম।

সংখ্যা পদ্ধতির প্রকারভেদ (Classification of Number System):

সংখ্যা পদ্ধতিকে প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করা যায়।

১। অস্থানিক সংখ্যা পদ্ধতি (Non Positional Number System)

২। স্থানিক সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System)

অস্থানিক সংখ্যা পদ্ধতি (Non Positional Number System):

এই পদ্ধতিতে প্রতিটি চিহ্ন বা অংকের কোনো স্থানিক মান নেই। এটি পূর্বে ব্যবহার করা হতো। বর্তমানে এটির প্রচলন নেই বললেই চলে।

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে সংখ্যার মান সংখ্যায় ব্যবহৃত অংকসমূহের অবস্থানের উপর নির্ভর করে না তাকে নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। এই পদ্ধতিতে বিভিন্ন চিহ্ন বা প্রতীকের মাধ্যমে হিসাব-নিকাশের কাজ করা হতো । এই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত প্রতীক বা অংকগুলোর পজিশন বা অবস্থান গুরত্ব পায় না। ফলে অংকগুলোর কোনো স্থানীয় মান থাকে না। শুধু অংকটির নিজস্ব মানের উপর ভিত্তি করে হিসাব-নিকাশ কার হয়। প্রাচীন কালে ব্যবহৃত হায়ারোগ্লিফিক্স (Hieroglyphics), মেয়ান ও রোমান, ট্যালি সংখ্যা পদ্ধতি নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতির উদাহরণ।

     

চিত্রঃ হায়ারোগ্লিফিক্স সংখ্যা পদ্ধতির চিহ্নসমূহ এবং ট্যালি সংখ্যা পদ্ধতি 

স্থানিক সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System):

বহুল প্রচলিত সংখ্যা পদ্ধতি হলো স্থানিক সংখ্যা পদ্ধতি। এ পদ্ধতিতে প্রতিটি চিহ্নের একটি নির্দিষ্ট স্থানিক মান রয়েছে যা নির্ভর করে অঙ্কটি কোন পদ্ধতিতে লেখা হয়েছে তার ওপর। এ ধরনের সংখ্যা পদ্ধতি চার ধরনের। যেমন- বাইনারি (Binary) বা দ্বিমিক, অক্টাল (Octal) বা অষ্টমিক, ডেসিমাল (Decimal) বা দশমিক এবং হেক্সাডেসিমাল (Hexadecimal) বা ষোড়দশ।

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে সংখ্যার মান সংখ্যায় ব্যবহৃত অংকসমূহের পজিশন বা অবস্থানের উপর নির্ভর করে তাকে পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি  বলে। এই সংখ্যা পদ্ধতিতে সংখ্যায় ব্যবহৃত অংকসমূহের নিজস্ব মান, স্থানীয় মান এবং সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তির সাহায্যে সংখ্যার মান নির্ণয় করা হয়। এই সংখ্যা পদ্ধতিতে Radix point(.) দিয়ে প্রতিটি সংখ্যাকে পূর্ণাংশ এবং ভগ্নাংশ এই দুইভাগে বিভক্ত করা হয়। যেমনঃ (১২৬.৩৪)১০   

কোন সংখ্যা পদ্ধতিতে একটি সংখ্যায় কোন অঙ্কের স্থানীয় মান হল (সংখ্যাটির বেজ) অঙ্কের পজিশন। পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে কোন সংখ্যার পূর্নাংশের অংকগুলোর পজিশন শুরু হয় ০ থেকে(ডান থেকে বাম দিকে) এবং ভগ্নাংশের অংকগুলোর পজিশন শুরু হয় -১ থেকে(বাম থেকে ডান দিকে)।  যেমন (১২৬.৩৪)১০ সংখ্যাটির ২ অঙ্কটির স্থানীয় মান হল (১০)১= ১০ এবং ১ অঙ্কটির স্থানীয় মান হল (১০)২= ১০০।

স্থানিক সংখ্যা পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য

যেকোনো সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে নিচের ৪ টি বৈশিষ্ট্য প্রযোজ্য। যেমনঃ

• প্রতিটি সংখ্যা পদ্ধতির একটি Base বা ভিত্তি থাকতে হবে।
• ব্যবহৃত প্রতিটি Digit বা অংকের স্থানিক ( Local ) মান থাকতে হবে।
• স্থানিক মানকে Power বা ঘাত মান দিয়ে প্রকাশ করা যাবে।
• Positional সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে র‍্যাডিক্স পয়েন্ট এর সাহায্যে একটি সংখ্যাকে দু অংশে ভাগ করা যায়। যথা পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ।

পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে একটি সংখ্যার বিভিন্ন অংশ:

সাধারণ হিসাব-নিকাশের জন্য দশমিক বা ডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। তবে কম্পিউটার সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ বিভিন্ন হিসাব নিকাশ সম্পন্ন হয় বাইনারি পদ্ধতিতে। কারণ কম্পিউটার তার অভ্যন্তরীণ কাজে বিট (0,1) ব্যবহার করে থাকে। নিচে এদের সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত আলোচনা করা হলোঃ

• বিট (Bit): কম্পিউটারে ব্যবহার্য ডেটার সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম অংশ হলো বিট। তথা একক বাইনারি মান ” 0 ” অথবা “1” হলো বিট । Bit এর পূর্ণরূপ হলো Binary digit.
• নিবল (Nibble): ১ বাইটের অর্ধেক তথা ৪ (চার) বিট মিলে নিবল হয়, যা সাধারণত একটি হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
• বাইট (Byte): এক সেট বিট হলো বাইট যা কম্পিউটারে কোডিং এর ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। সাধারণত ৮ বিট মিলে ১ বাইট হয়ে থাকে।
• ওয়ার্ড (Word): কম্পিউটারের স্বাভাবিক ডেটা সাইজ হলো ওয়ার্ড। এটি নির্ভর করে ভিন্ন ভিন্ন কম্পিউটারের কেন্দ্রীয় প্রক্রিয়াকরণ অংশের উপর। যেমনঃ ২ বাইট মিলে একটি ওয়ার্ড হতে পারে ।

স্থানিক সংখ্যা পদ্ধতির প্রকারভেদ (Classification of Positional Number System):

পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি চার প্রকার। যথা-

• ডেসিমেল
• বাইনারি
• অক্টাল
• হেক্সাডেসিমেল

ডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি :

Deci শব্দের অর্থ হলো ১০। যে সংখ্যা পদ্ধতিতে ১০টি (০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯) প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাকে ডেসিমেল বা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি বলে।যেমন- (১২০)১০ ।  দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট ১০ টি প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় বলে এর বেজ বা ভিত্তি হচ্ছে ১০। ইউরোপে আরোবরা এই সংখ্যা পদ্ধতির প্রচলন করায় অনেকে এটিকে আরবি সংখ্যা পদ্ধতি নামেও অভিহিত করেন। মানুষ সাধারণত গণনার কাজে ডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করে।

বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি :

Bi শব্দের অর্থ হলো ২ (দুই)। যে সংখ্যা পদ্ধতিতে ০  ও ১ এই দুইটি প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাকে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি বলে। যেমন-(১০১০)২। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে যেহেতু ০ এবং ১ এই দুইটি প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাই এর বেজ বা ভিত্তি হচ্ছে ২। ইংল্যান্ডের গণিতবিদ জর্জ বুল বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি উদ্ধাবন করেন। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি সবচেয়ে সরলতম সংখ্যা পদ্ধতি। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ০ এবং ১ এই দুটি মৌলিক চিহ্নকে বিট বলে এবং আট বিটের গ্রুপ নিয়ে গঠিত হয় একটি বাইট।

সকল ইলেক্ট্রনিক্স ডিভাইস শুধুমাত্র দুটি অবস্থা অর্থাৎ বিদ্যুতের উপস্থিতি এবং অনুপস্থিতি বুজতে পারে। বিদ্যুতের উপস্থিতিকে ON, HIGH, TRUE কিংবা YES বলা হয় যা লজিক লেভেল ১ নির্দেশ করে এবং বিদ্যুতের অনুপস্থিতিকে OFF, LOW, FALSE কিংবা NO বলা হয় যা লজিক লেভেল ০ নির্দেশ করে। লজিক লেভেল ০ এবং ১ বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির সাথে সামঞ্জন্যপূর্ণ। তাই কম্পিউটার বা সকল ইলেক্ট্রনিক্স ডিভাইসে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়।

অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি:

Octa শব্দের অর্থ হলো ৮ । যে সংখ্যা পদ্ধতিতে ৮টি (০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭) প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাকে অকটাল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। যেমন- (১২০)৮ । অকটাল সংখ্যা পদ্ধতিতে ০ থেকে ৭ পর্যন্ত মোট ৮ টি প্রতিক বা চিহ্ন নিয়ে যাবতীয় গাণিতিক কর্মকান্ড সম্পাদন করা হয় বলে এর বেজ বা ভিত্তি হলো ৮। অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিকে তিন বিট সংখ্যা পদ্ধতিও বলা হয়। কারণ অকটাল সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত ০ থেকে ৭ পর্যন্ত মোট ৮ টি প্রতিক বা চিহ্নকে তিন বিটের মাধ্যমেই প্রকাশ করা যায়। ডিজিটাল সিস্টেমে বিভিন্ন ক্ষেত্রে বাইনারি সংখ্যাকে নির্ভূল ও সহজে উপস্থাপন করার জন্য অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি:

হেক্সাডেসিমেল শব্দটির দুটি অংশ। একটি হলো হেক্সা(Hexa) অর্থাৎ ৬ এবং অপরটি ডেসিমেল অর্থাৎ ১০ , দুটো মিলে হলো ষোল। যে সংখ্যা পদ্ধতিতে ১৬ টি (০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,A,B,C,D,E,F) প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাকে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। যেমন- (১২০৯A)১৬। হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট ১৬ টি প্রতিক বা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় বলে এর বেজ বা ভিত্তি হচ্ছে ১৬। হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিকে চার বিট সংখ্যা পদ্ধতিও বলা হয়। কারণ হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত ১৬ টি (০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,A,B,C,D,E,F) প্রতিক বা চিহ্নকে চার বিটের মাধ্যমেই প্রকাশ করা যায়।  ডিজিটাল সিস্টেমে বিভিন্ন ক্ষেত্রে বাইনারি সংখ্যাকে নির্ভূল ও সহজে উপস্থাপন করার জন্য হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এছাড়া বিভিন্ন মেমোরি অ্যাড্রেস ও রং এর কোড হিসেবে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

 

সংখ্যা পদ্ধতির বেজ:

কোনো একটি সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মৌলিক চিহ্নসমূহের মোট সংখ্যা বা সমষ্টিকে ঐ সংখ্যা পদ্ধতির বেজ (Base) বা ভিত্তি বলে। কোন একটি সংখ্যা কোন সংখ্যা পদ্ধতিতে লেখা তা বুঝানোর জন্য সংখ্যার সাথে বেজ বা ভিত্তিকে সাবস্ক্রিপ্ট (সংখ্যার ডানে একটু নিচে) হিসেবে লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন-

• ডেসিমেল ১২০ কে (১২০)১০
• বাইনারি ১০১০ কে (১০১০)২
• অক্টাল ১২০ কে (১২০)৮
• হেক্সাডেসিমেল ১২০ কে (১২০)১৬

এক নজরে বিভিন্ন পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি-